bsese 2009-1-6 20:25
有理数集不是可数集
[size=5] 有理数集不是可数集
[/size][size=2] 包学行 [email=bsese@163.com][color=#0000ff]bsese@163.com[/color][/email][/size]
[size=2] 前些天在 [url=http://www.soudoc.com/bbs/thread-8693133-1-1.html][color=#0000ff][size=13px]实数域不是数梳[/size][/color][/url] 贴与网友讨论问题中，经思考发现[b]有理数集[/b]不是[b]可数集[/b]。[/size]
[size=2][/size]
[size=2] [b]可数集[/b]定义：与自然数集可构成一一对应的集为[b]可数集[/b]。[/size]
[size=2][/size]
[size=2] 证明：[b]有理数集[/b]不是[b]可数集[/b][/size]
[size=2][/size]
[size=2] 如果[b]有理数集[/b]是可数集，那么我们可为全体有理数与自然数构成一个一一对应序列：[/size]
[size=2][/size]
[size=2] 自然数 有理数[/size]
[size=2] 1 t_1[/size]
[size=2][size=2] 2 t_2[/size][/size]
[size=2][size=2][size=2] 3 t_3[/size][/size][/size]
[size=2][size=2][size=2][size=2][size=2][color=black] …… ……[/color]
[color=black][size=2] k t_k
[/size][size=2] k+1 t_(k+1)
[/size]
…… ……
[/color][color=black][size=2] n t_n[/size][/color][/size][/size][/size][/size][/size]
[size=2][size=2][size=2][size=2][size=2][color=black][size=2] n+1 t_(n+1)
[/size]
…… ……
k与n都为自然数。
如果我们调换tn序列中的任2个上下想邻的数，这个序列与自然数的一一对应仍成立，如：
[size=2] 自然数 有理数[/size]
[size=2] 1 t_1[/size][/color][/size][/size][/size][/size][/size]
[size=2][size=2][size=2][size=2][size=2][color=black][size=2][size=2][size=2] 2 t_1[/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][/size]
[size=2][size=2][size=2][size=2][size=2][color=black][size=2][size=2][size=2][size=2] 3 t_3[/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][/size]
[size=2][size=2][size=2][size=2][size=2][color=black][size=2][size=2][size=2][size=2][size=2][color=black] …… ……
[/color][color=black][size=2] k t_([color=red]k+1[color=#000000])[/color][/color][/size]
[size=2] k+1 t_[color=red]k[/color][/size]
…… ……
[/color][color=black][size=2] …… ……
n t_n[/size][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][/size]
[size=2][size=2][size=2][size=2][size=2][color=black][size=2][size=2][size=2][size=2][size=2][color=black][size=2] n+1 t_(n+1)[/size]
…… ……
我们用冒泡法对tn序列中的相邻数进行交换，让值小的数往上移，值大的数往下移，直到冒泡法完成。我们将得到一个新的一一对应序列，重新依序编号得：
[size=2] 自然数 有理数[/size]
[size=2] 1 T1[/size]
[size=2][size=2] 2 T2
[size=2] 3 T3
[size=2][size=2][color=black] …… ……
[/color][color=black][size=2] n T_n
[/size][size=2] n+1 T_(n+1)
[/size] …… ……
其中 T_(n) < T_(n+1)。
我们可发现 [T_n +T _(n+1)]/ 2 也是有理数，却未包含在该序列内。所以有理数[b]不是[/b]可数集。
证毕。[/color][/size][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][/size]
[size=2]摘自：[url=http://www.soudoc.com/bbs/thread-8733177-1-1.html]http://www.soudoc.com/bbs/thread-8733177-1-1.html[/url][/size]
jlheni 2009-1-7 20:10
哦！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
llb99999 2009-2-9 11:33
呵呵，都是自以为是的想法，漏洞自己找吧，数学是可爱的，更是严谨的，哪里有那么容易去判断与证明？
bsese 2009-2-10 12:25
[quote]原帖由 [i]llb99999[/i] 于 2009-2-9 11:33 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=181165&ptid=65589][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
呵呵，都是自以为是的想法，漏洞自己找吧，数学是可爱的，更是严谨的，哪里有那么容易去判断与证明？ [/quote]
不说明错在哪里能算是严格论证吗？
bsese 2009-2-10 12:29
[quote]原帖由 matrix67 于 [url]http://www.matrix67.com/blog/archives/416[/url] 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=181357&ptid=65589][url=http://www.matrix67.com/blog/archives/416][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url][/url]
最近，Matthew H. Baker找到了证明实数区间是不可数集的一种新方法。这种方法同原来的方法完全不同。新的证明方法从一个博弈游戏出发，在两个不同的数学领域间建立起了联系，非常具有启发性。
A和B两个人在实数区间[0,1]上玩一个游戏。首先，A在(0,1)之间选一个数a1，然后B在(a1,1)里选一个数b1；接着，A在(a1,b1)之间选一个数a2，然后B在(a2,b1)里选一个数b2……总之，以后A和B轮流取数，选的那个数必须位于前面两次选的数之间。可以看到，序列a1,a2, a3,...是一个单增的有界序列，因此游戏无限进行下去，数列{an}最终会收敛到某一个实数c。游戏进行前，A和B约定一个[0,1]的子集S，规定如果最后c∈S，则A胜，否则B胜。
Baker发现，如果S集为可数集的话，B肯定有必胜策略。如果S集可数，那么B就可以把S集里的数排列成一个序列s1, s2, s3, ...。B的目标就是让序列{an}的极限不等于S集里的任一个数。考虑B的这样一个游戏策略：当B第i次选数时，如果选si合法，那么就选它（这样序列{an}就不能收敛到它了）；否则如果这一步选si不合法，那就随便选一个合法的数（此时序列{an}已经不可能收敛到si了）。这种策略就可以保证A选出的数列的极限不是S集里的任一个数。
有趣的事情来了。假如A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1]，那么B显然不可能获胜；但如果[0,1]是可数集的话，B是有必胜策略的。于是我们就知道了，[0,1]是不可数集。 [/quote]
B的排序策略是不可能必胜的。"证明实数区间不可数的新方法"一文的论证是错误的。
证明：
因为A可以拥有必胜策略：只要A每步都选一个合法的无理数，A就必胜。
A将选取了一个无理数的递增数列，B将选取了一个实数的递减数列，即
步序 A的选取数 极限值 B的选取数
第1步 （无理数） （有理数或无理数）
第2步 （无理数） （有理数或无理数）
第3步 （无理数） （有理数或无理数）
...... ...... ......
第i步 （无理数） （有理数或无理数）
第i+1步 （无理数） （有理数或无理数）
...... ...... ......
...... ...... c ......
B对A说：“你的序列的极限c是无理数，我赢了。”
A反问B说：“那么我的数列中你任取一数（都是无理数）它与c（如果c是无理数）间都将包含有有理数，我的数列的极限怎么可能会是无理数呢？”
B只好说：“你赢了，我确实找不出必胜策略。”
证毕。
即使让B先开始选数，A的必胜策略仍然有效，网友们可自己分析。
无理数也是不可数集，如果A和B约定一个[0,1]的子集S 是[0,1]中的全体无理数，A也可有必胜的策略。
证明：
因为A可以拥有必胜策略：只要A每步都选一个合法的有理数，A就必胜。
A将选取了一个有理数的递增数列，B将选取了一个实数的递减数列，即
步序 A的先取数 极限值 B的选取数
第1步 （有理数） （有理数或无理数）
第2步 （有理数） （有理数或无理数）
第3步 （有理数） （有理数或无理数）
...... ...... ......
第i步 （有理数） （有理数或无理数）
第i+1步 （有理数） （有理数或无理数）
...... ...... ......
...... ...... c ......
B对A说：“你的序列的极限c是有理数，我赢了。”
A反问B说：“那么我的数列中你任取一数（都是有理数）它与c（如果c是有理数）间都将包含有无理数，我的数列的极限怎么可能会是有理数呢？”
B只好说：“你赢了，我确实找不出必胜策略。”
证毕。
即使让B先开始选数，A的必胜策略仍然有效，网友们可自己分析。
这是说明有理数与无理数等势的一个非常好的例子。
如果A和B把约定的博弈选数区间扩展为实数域，并约定一个实数域的子集S 是实数域中的全体自然数，那么，B会有必胜的策略。
因为自然数集是可数集，因此，B的排序策略是可以必胜的。
证明：
设第１步Ａ与Ｂ选取的数分别为a1与b1，那么，接下来的博弈选数将在（a1，b1）内进行了。
在（a1，b1）内只有ＩＮＴ（b1-a1）个自然数，在接下来的ＩＮＴ（b1-a1）步内，Ｂ如果有合法的自然数可选就选自然数，如果第i步没有自然数可选了，说明博弈的区间已限在了（ai，bi）且INT(bi)=INT(ai)，（ai，bi）内已无自然数了，那么，Ａ就不可能把数列极限收敛于自然数了，B必胜。
证毕。
还有让Ｂ更快必胜的方法，如果Ａ选a1,那么Ｂ第１步可选[a1 + ＩＮＴ（a1 ＋１）] / 2 .
oneforall 2009-2-11 14:07
有理数与自然数之间的一一对应并不是按照大小顺序来的
SH002 2009-2-11 16:44
回复 1楼 的帖子
质疑：
１．若｛T_n｝是来自｛t_n｝，则｛T_n｝与｛t_n｝应有一一对应关系；
２．基于１，[T_n +T _(n+1)]/ 2应含于｛T_n｝之中（例如，可以是T_k）。否则｛t_n｝不是完整的有理数集（严格地说，不是有理数集）。
bsese 2009-2-12 07:59
非常感谢 [i]SH002[/i] 非常认真的回复。
[quote]原帖由 [i]SH002[/i] 于 2009-2-11 16:44 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=181612&ptid=65589][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
质疑：
１．若｛T_n｝是来自｛t_n｝，则｛T_n｝与｛t_n｝应有一一对应关系；
... [/quote]
你的１．很正确，因为是从冒泡法得到的当然是一一对应关系。
[quote]原帖由 [i]SH002[/i] 于 2009-2-11 16:44 发表 [url=redirect.php?goto=findpost&pid=181612&ptid=65589][img]images/common/back.gif[/img][/url]
...
２．基于１，[T_n +T _(n+1)]/ 2应含于｛T_n｝之中（例如，可以是T_k）。否则｛t_n｝不是完整的有理数集（严格地说，不是有理数集）。 [/quote]
但你的２．前一句不正确。
因为，如果 T_k ≤T_n 或者 T_k ≥ T _(n+1) 则 T_k 不可能是 [T_n +T _(n+1)]/ 2 。
而 n 与 n+1 间又不能增加一个自然数的序号 n+0.5 。
但你的２．后后一句是正确的。
因为｛T_n｝与｛t_n｝确实都有不是完整的有理数集。
[[i] 本帖最后由 bsese 于 2009-2-12 08:30 编辑 [/i]]
SH002 2009-2-13 11:29
回复 8楼 的帖子
其实有理数的不可数性是其基本性质之一。从其下述另一性质不难导出：
“有理数性质之一：任何两有理数之间都存在有无限多个有理数。”
基于上述性质，设与自然数1对应的有理数是A1。我们不可能写出其相邻的有理数A2与自然数2相对应。
有关“数”以及“群”、“环”、“域”的性质，可参考“实变函数与泛函分析”，“近世代数”，或“数论基础”等方面的书籍。
bsese 2009-2-13 14:46
[quote]原帖由 [i]SH002[/i] 于 2009-2-13 11:29 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=181884&ptid=65589][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
其实有理数的不可数性是其基本性质之一。从其下述另一性质不难导出：
“有理数性质之一：任何两有理数之间都存在有无限多个有理数。”
基于上述性质，设与自然数1对应的有理数是A1。我们不可能写出其相邻的有理数A ... [/quote]
完全赞同你的以上论述。
但现在有一种错误的数学思想，认为所有[b]可列的无穷集[/b]都是与[b]自然数[/b]等势的。
理由为一一对应：
1， 2， 3， 4， ......， n, ......
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, ......，. .....，
这种论证的不严格在于只列出有限端，并未遍历整个自然数集与有理数集。
即使是无穷长的队列也是有长短不同的，如果[b]自然数队列[/b]比[b]有理数集队列[/b]短，在上述一一对应队列的省略号中根本看不出来的。
zxemilfans 2009-2-13 16:48
晕，你比cantor还牛啊！
johnson04 2009-7-19 15:43
9楼的你的理解有问题
[quote]原帖由 [i]SH002[/i] 于 2009-2-13 11:29 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=181884&ptid=65589][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
其实有理数的不可数性是其基本性质之一。从其下述另一性质不难导出：
“有理数性质之一：任何两有理数之间都存在有无限多个有理数。”
基于上述性质，设与自然数1对应的有理数是A1。我们不可能写出其相邻的有理数A ... [/quote]
任意两个有理数间都存在无限多个有理数这个性质没错，但是构造有理数与自然数之间的一一对应关系不是你那样构造的！因为你那样构造的对应关系已开始就是不对：你的$\{t_n\}$本来就没法包括所有的有理数，你后面说$\frac{T_n+T_{n+1}}{2}$不在你的“有理数集”里是你自己一开始构造的时候就已经决定了的。有理数是可数的！这是数学分析里最基本的一个结论，其证明方法也是很基本的。建议你最好多读读Rudin的数学分析的经典著作。在这里我可以给你简单讲讲如何正确地构造有理数到自然数之间的一一对应关系：
1 2/1 3/1 4/1 ....
/ / /
1/2 2/2 3/2 4/2 ....
/ / /
1/3 2/3 3/3 4/3 .....
/ / /
1/4 2/4 3/4 ......
/
1/5 ..... .....
.....
如上表所示，我们构造一个序列：${x_n}$, such that $x_1 = 1$, $x_2 = 1/2$, $x_3 = 2/1$, $x_4 = 1/3$, .... 我们知道这个序列中的元素有可能有重复的，不过，这个序列却包含了所有有理数，而从上面的构造我们可以看到，这个序列的指标（自然数集）与上述无穷大的表中的元素是一一对应的，因此，上述表中的元素的集合构成一个可数集。又：有理数集是这个集合的一个无穷子集，由可数集的无穷子集仍是可数集的定理可知，有理数集是可数集。This completes the proof of the assertion.
而且，不但有理数集是可数集，无理数中的代数数的集合也是可数集。至于如何证明，俺就不罗嗦了。
foreveryyp 2009-7-28 09:52
晕。。。楼主的证明方法逻辑上就有问题 冒泡法排序是针对有限的数的情况下 这里是无限个数。。。。 有理数是可数集只要构造出一个双射就可以证明了
hqwxyz 2009-8-26 22:21
照lz的方法，那么直线和平面的势也不同了。
其实只要构造出一一对应就可以判断出2个集合具有相同的势；除非你能证明两个集合无法构造一一对应才能说明两个势不同，而不能说你的排列方法说明了不是一一对应，所以不具有相同的势。
正如皮亚诺证明了直线和平面虽然具有相同的势（康托已证明），但是两者间的对应函数不可能是连续的一样，有理数与自然数集的对应函数也具有相同的关系。