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数学归纳法　可靠吗？

　　　　　　　　　　[size=5]数学归纳法　可靠吗？[/size]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　包学行
　　　　　　　　　　　　　　　 　[email=bsese@163.com][color=#0000ff]bsese@163.com[/color][/email]

　　数学归纳法是我认识[b][color=red]她[/color][/b]后最佩服[b][color=red]她[/color][/b]的高效率了——有限的时间内完成了无限实例的证明。
　　但在我与网友的数学争议中，我却发现了[b][color=red]她[/color][/b]的内在矛盾，因为我证明了
　　[color=red]数学归纳法只证明了有限[/color]　证明如下：
[color=green]　　对于自然数 n
　　n =１是一个有限值，
　　设 n = k  时为有限值，
　　因为有限值加１仍为有限值，
　　则，
　　n = k +1  也为有限值，
　　那么，一切的自然数 n  都是有限值。[/color]
　　因此，我认识到数学的基础的实数[b]公理系统[/b]可有[b]许多个[/b]，不能把某个实数公理系统的结论推广到另一个实数公理系统中，否则就会出现许多[b]内在矛盾[/b]。

摘自：[url=http://bsese.5d6d.com/thread-17-1-1.html]http://bsese.5d6d.com/thread-17-1-1.html[/url]
ｈｔｔｐ：／／ｂｓｅｓｅ．５ｄ６ｄ．ｃｏｍ／ｔｈｒｅａｄ－１７－１－１．ｈｔｍｌ

不太赞同 数学归纳法 不完全是对无限的证明
而是对每个整数值带入 都可以成立的一个自身循环证明

[quote]原帖由 [i]tobio[/i] 于 2008-9-19 16:47 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=160524&ptid=63768][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
不太赞同 数学归纳法 不完全是对无限的证明
而是对每个整数值带入 都可以成立的一个自身循环证明 [/quote]
正因为 数学归纳法 仅是一个自身循环证明，所以某些对无限的结果有时是错误的。也就是说 数学归纳法 自身循环不能[b]遍历[/b]自然数集。
用未[b]遍历[/b]自然数集的证明对自然数集下结论因此必定会发生矛盾，发生矛盾为了避免矛盾只好要[url=http://www.chinesepdf.com/thread-63838-1-1.html]屏蔽一些证明路径。[url]http://www.chinesepdf.com/thread-63838-1-1.html[/url][/url]

[quote]原帖由 [i]tobio[/i] 于 2008-9-19 16:47 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=160524&ptid=63768][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
不太赞同 数学归纳法 不完全是对无限的证明
而是对每个整数值带入 都可以成立的一个自身循环证明 [/quote]
[quote]引用yuxshi于2008-09-26 22:39发表的  :
如果你学过数学分析，你应该明白这里的k是一个不确定的量，你的“有限值”是一个什么概念。
K有限吗？[/quote]
　　有限值是确定值吗？？？？

　　数学归纳法只证明了有限　证明如下：
　　对于自然数 [b]n[/b]
　　[b]n = 1[/b] 这一步未遍历自然数集，
　　设 [b]n = k[/b]  这一步未遍历自然数集，
　　增加有限值 [b]1[/b] 后， 则，
　　[b]n = k +1[/b]  这一步也未遍历自然数集，
　　那么，对一切的自然数 [b]n[/b] 下结论就要再证明未遍历的部分是否也正确了。

摘自：[url]http://bsese.5d6d.com/thread-17-1-1.html[/url]
ｈｔｔｐ：／／ｂｓｅｓｅ．５ｄ６ｄ．ｃｏｍ／ｔｈｒｅａｄ－１７－１－１．ｈｔｍｌ

当然可靠啦！！！！！！

[quote]原帖由 [i]krisdiano[/i] 于 2008-10-4 13:31 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=161927&ptid=63768][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
当然可靠啦！！！！！！ [/quote]
那么，以下的证明也成立了：
证明
　　对于自然数 n
　　n = 1 是一个有限值，
　　设 n = k  时为有限值，
　　因为有限值加 1 仍为有限值，
　　则，
　　n = k + 1  也为有限值，
　　那么，一切的自然数 n 都是有限值。

了解一些皮亚诺公理系统和康托的超限数学后你就明白了

了解一些皮亚诺公理系统和康托的超限数学后你就明白了

[quote]原帖由 [i]hqwxyz[/i] 于 2008-10-13 21:21 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=162576&ptid=63768][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
了解一些皮亚诺公理系统和康托的超限数学后你就明白了 [/quote]
根据皮亚诺公理系统第⑤公设                                                               [color=seagreen][color=green]证明:[/color]
[/color]　　⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是[color=red]对的[/color]，         [color=seagreen]n =１是一个[b]有限值[/b]，        (对的)
[/color]又[color=red]假定[/color]它对自然数n为[color=red]真[/color]时，                                                                 [color=green]设 n = k  时为[b]有限值[/b]，     (假定)[/color]
可以证明它对n' 也[color=red]真[/color]，                                             　　                      [color=green]因为有限值加１仍为[b]有限值[/b]，[/color]
　　                                                                                                       [color=green]则，[/color]
                                                                                                             [color=green]n = k +1  也为有限，        (对的)
[/color]那么，命题对所有自然数都[color=red]真[/color]。                                                            [color=green]那么，[/color]
                                                                                                             [color=green]根据皮亚诺公理系统第⑤公设，[/color]
                                                                                                            [color=green] 一切的自然数 n  都是[b]有限值[/b]。[/color]
[color=#008000][/color]
根据皮亚诺公理系统第⑤公设               [color=seagreen][color=green]证明:[/color]
[/color]　　⑤任意关于自然数的命题，           [color=green]分析数学归纳法证明的步骤，[/color]
如果证明了它对自然数1是[color=red]对的[/color]，         [color=seagreen]n =１是一个[b]未遍历自然数集[/b]，        (对的)
[/color]又[color=red]假定[/color]它对自然数n为[color=red]真[/color]时，                [color=green]设 n = k  时为[b][color=#2e8b57]未遍历自然数集[/color][/b]，     (假定)[/color]
可以证明它对n' 也[color=red]真[/color]，                          [color=green]则，[/color]
                                                             [color=green]n = k +1  也[b][color=#2e8b57]未遍历自然数集[/color][/b]，        (对的)
[/color]那么，命题对所有自然数都[color=red]真[/color]。            [color=green]那么，[/color]
                                                             [color=green]根据皮亚诺公理系统第⑤公设，[/color]
                                                            [color=green] 数学归纳法[color=#2e8b57][b]未遍历自然数集[/b][/color]。[/color]

[quote]引用第 楼hyia于2008-10-27 10:22发表的 :
这个问题不用回答。

    去看看 华罗庚著《数学归纳法》一书就明了了。[/quote]


数学大师华罗庚在《数学归纳法》一书中指出数学归纳法的二条缺一不可。下面左边用[b]黑色[/b]列出数学大师华罗庚指出的数学归纳法必要的条件，右边用[b][color=#008000]绿色[/color][/b]列出按数学归纳法必要的条件的证明。

[color=#000000]根据数学大师华罗庚指出的证明步骤[color=#2e8b57]                         　[/color][color=#008000][color=#2e8b57]证明:[/color][/color][/color]  
[color=#000000]
[/color][color=#000000][color=#008000][color=#000000](1) “当 n=1 时，这个命题是正确的”；[/color][color=#2e8b57] 　                [/color][color=#008000]分析数学归纳法证明的步骤，[/color]

[color=#2e8b57]　          　　                                                           　 n =１时[b]未遍历自然数集[/b]，   (对的)[/color][/color]
[/color]
[color=#000000][color=#2e8b57][color=#008000][color=#000000](2) “[/color][color=#000000]假设当  n=k  时，这个命题是正确，[/color]         　　　 [color=#008000]设 n = k  时为[b][color=#2e8b57]未遍历自然数集[/color][/b] (假定)[/color][/color][/color]  

那么，当  n=k+1  时，这个命题也是正确的”[color=#000000]，[/color]            [color=#008000]则，n = k +1  也[/color][b][color=#2e8b57]未遍历自然数集[/color][/b][color=#008000]，  (对的) [/color][/color]
[color=#000000]
[/color][color=#000000][color=#000000]这二条缺一不可。　　　　　　　　　　　　　　     　[/color][color=#008000]数学大师指出的二条都具备了。 [/color][/color]

[color=#2e8b57][color=#008000][color=#2e8b57][color=#000000]那么，命题对所有自然数都[/color][color=#000000]成立[/color][color=#000000]。[/color]     　 　　　　        [color=#008000]那么，[/color]  
                                                             　   　　           [color=#008000]根据数学大师的证法，[/color] 得出
                                                             　       　           [color=#008000]数学归纳法[color=#2e8b57][b]未遍历自然数集[/b][/color]。[/color][/color][/color][/color]

回复 9楼 的帖子

弱弱的问一下，n=k  时的假设成立吗？

[quote]原帖由 [i]nptbaker[/i] 于 2008-11-3 18:36 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=163866&ptid=63768][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
弱弱的问一下，n=k  时的假设成立吗？ [/quote]
如果　n=1　时成立，那么 n=k  时的假设就可以设定。
因为若进一步地证明　n=k+1  时的命题成立，那么 n=k  时的假设就也是成立的。
想一下从　n=1　开始的到 n=k 的迭推关系就明白了。

回复 11楼 的帖子

n=k时，k取无限大的自然数时，假设就不再成立了吧...
第二步的假设是在不明确时进行的,
如果假设错了，最后的结果有矛盾，不能说是归纳法的问题吧...
仍然弱弱的说...

[quote]原帖由 [i]nptbaker[/i] 于 2008-11-4 13:25 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=163937&ptid=63768][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
n=k时，k取无限大的自然数时，假设就不再成立了吧...
第二步的假设是在不明确时进行的,
如果假设错了，最后的结果有矛盾，不能说是归纳法的问题吧...
仍然弱弱的说... [/quote]
该证明就是证明[b]数学归纳法[/b][color=DarkRed]未遍历[/color][b]自然数集[/b]，无限大的自然数是未被证明过程遍历的，当然“k取无限大的自然数时，假设就不再成立了”。

学习了，谢谢哦！！！！！

“因此，我认识到数学的基础的实数公理系统可有许多个，不能把某个实数公理系统的结论推广到另一个实数公理系统中，否则就会出现许多内在矛盾”这句话不大懂，惭愧，感觉上，楼主的说法，感觉上像是先改造了数学归纳法，再用新的归纳法去证明旧的，好像涉及到集合作用域的问题，麻烦，看过楼主的初等数学解决高等数学问题的帖子，赞~~~

可靠啊，要不然怎么能用到现在呢。

每个自然数都是有限的大小，请楼主和大侠们不要混淆概念，无限个自然数与无限大自然数是两个概念

它与最小自然数原理等价

是验证。。高中老师都讲得不是很清楚。。只是考试很容易考到的题型。。

楼主完全跳入了一个死胡同，究竟什么是数学归纳法，它解决什么样的问题，再看看吧

数学归纳法的基本推理

[font=-webkit-sans-serif][size=32px]在证明中，归纳推理的过程如下：
[list=1][*]首先证明 P(0) 成立，即公式在 [i]n[/i] = 0 时成立。[*]然后证明从 P([i]m[/i]) 成立可以推导出 P([i]m[/i]+1) 也成立。（这里实际应用的是演绎推理法）[*]根据上两条从 P(0) 成立可以推导出 P(0+1)，也就是 P(1) 成立。[*]继续推导，可以知道 P(2)、P(3) 也成立。[*]从 P(3) 成立可以推导出 P(4) 也成立。[*]不断重复推导下一命题成立的步骤。（这就是所谓“归纳”推理的地方）[*]我们便可以下结论：对于任意自然数 [i]n[/i]，P([i]n[/i]) 成立。[/list][/size][/font]

应该可靠吧，好多命题都是那么命名的啊！

任何事物都不是绝对的

实践出真知，数学归纳法既不违背基本的数学原理，并且到目前为止数学归纳法也都是成功的，没有理由怀疑其正确性

可靠遇不可靠还是要分具体的情况，有有限归纳法，还有超限归纳法

[quote]原帖由 [i]bsese[/i] 于 2008-9-16 20:50 发表 [url=http://www.chinesepdf.com/redirect.php?goto=findpost&pid=160301&ptid=63768][img]http://www.chinesepdf.com/images/common/back.gif[/img][/url]
　　　　　　　　　　数学归纳法　可靠吗？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　包学行
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　　数学归纳法是我认识她后最佩服她的高效率了——有限的时间内 ... [/quote]




呵呵，这里的问题在于你自己对于“有限值”已经有了自己的归纳定义，即“1是有限值”，“任意一个有限值加1还是有限值”，不在于数学归纳法。数学归纳法基本上就是一个原理，如果我们把自然数建立在皮纳诺公理的基础上，则数学归纳法差不多就是其中的归纳公理。
数学的可靠性是一个很大的话题，不是一两句话就能说清楚的。
:)

每个自然数都是有限的大小，请楼主和大侠们不要混淆概念，无限个自然数与无限大自然数是两个概念
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没错。

数学归纳法是可靠的,你认为它不可靠则说明你没有理解使用数学归纳法的实质.